Количественные методы анализа для решения проблем бизнеса

С.Силбигер

С.Силбигер

Глава из книги "МВА за 10 дней: Самое важное из программ ведущих бизнес-школ мира"
Издательство "Альпина Паблишер"

Рисунок 1. "Я очень надеюсь, Фернбо, что ваша статистика не имеет никакого смысла"

Теория принятия решений

Теория принятия решений учит расчленять сложные проблемы на отдельные фрагменты. Если не разобрать трудную ситуацию на такие "удобоваримые" элементы, она быстро становится неуправляемой. Количественный анализ может использовать и "дикий" нефтеразведчик, прикидывая, стоит ли бурить в данном месте скважину, однако анализ не спасет его от рисков, сопряженных с разведывательным бурением. Схема дерева решений позволяет соотнести альтернативы, риски и вероятность того или иного исхода.

Анализ методом дерева решений проводится в пять этапов:

  1. Определение всех возможных альтернатив и рисков, связанных с ситуацией.
  2. Расчет в денежном выражении последствий каждой из альтернатив.
  3. Оценка неопределенности, связанной с каждой альтернативой.
  4. Изображение первых трех действий в виде дерева.
  5. Определение наилучшей альтернативы и учет неденежных аспектов проблемы.

В точках, где возможен выбор альтернатив, на дереве решения изображают разветвление действий или разветвление событий. Например, процесс принятия решения "бурить или не бурить" можно представить на дереве решений разветвлением. Точка выбора обозначается на дереве решений квадратом. Если имеющиеся альтернативы характеризуются неопределенностью, изображается разветвление событий. Неопределенный исход разведывательного бурения относится к категории событий, и соответствующая точка обозначается на дереве решений кружком.

Рисунок 2.

Пример дерева решений

Для примера рассмотрим ситуацию мистера Сэма Хьюстона из Техаса — тут может пригодиться дерево решений. Мистер Хьюстон подумывает приступить к бурению на перспективном участке. Следует ли ему бурить? Если из скважины забьет нефтяной фонтан, он разбогатеет примерно на $1 000 000. Проанализировав все альтернативы, мистер Хьюстон составил следующий список:

  1. Сэм заплатил $20 000 за право бурить.
  2. Сэм может снизить свои риски, наняв геолога для выполнения сейсморазведки ($50 000). Благодаря этому он точнее выяснит вероятность успеха и снизит риск напрасной траты денег на бурение.
  3. А может быть, просто положиться на судьбу и израсходовать $200 000 на бурение без предварительной сейсморазведки?
  4. Сэм посоветовался с экспертами. Они считают, что на участке Сэма вероятность попасть в нефтеносный пласт без всякой разведки равна 60%.
  5. По опыту экспертов, в случае позитивных результатов сейсморазведки вероятность наткнуться хоть на толику нефти равна 90%. Следовательно, ве-роятность неудачи всего 10%.
  6. Если сейсморазведка даст негативный результат, Сэм все равно может бурить, но с вероятностью успеха 10% и неуспеха — 90%.
  7. Сэм может в этом случае вообще отказаться от бурения.

Каждый элемент информации отражается на дереве решений. Дерево решений помогает мистеру Хьюстону организовать в графической форме имеющиеся альтернативы.

Прежде чем рьяно рисовать дерево, следует выявить нерелевантную информацию. В нашем случае это информация о невозвратных расходах, то есть о $20 000, истраченных на получение лицензии. Эти деньги уже все равно что выброшены, вернуть их невозможно, какое бы решение Сэм ни принял. Поэтому невозвратные расходы на дереве решений не изображаются.

Рисуем древо решений

Приступая к рисованию дерева решений, начать следует с первого необходимого решения (разветвления). Нужно ли Сэму начинать с сейсморазведки? Если да, то это действие должно предварять все последующие. На дереве решений появляется квадрат, обозначающий первый узел с ветвями возможных действий.

Рисунок 3.

Если Сэм выполняет сейсморазведку, результатом может быть позитивное (с вероятностью 60%) или негативное (с вероятностью 40%) событие. Отказавшись от сейсморазведки, он все равно должен будет выбрать бурить или не бурить (квадрат). И после любого результата сейсморазведки выбор, бурить или нет, остается в его руках. Но как только заработает буровая установка, появление или отсутствие нефти в скважине становится неконтролируемым событием. Сулящий миллион долларов фонтан либо брызнет, либо нет.

Следующий шаг — добавление последствий в денежном выражении в виде "листьев на дереве". Если нефть есть, это принесет $1 млн. Расходы на бурение равны $200 000 на скважину. Сейсморазведка обойдется в $50 000 на скважину.

Рисунок 4.

Для определения потенциальных финансовых последствий каждого решения нужно умножить денежный эквивалент каждого возможного исхода на его вероятность, обозначенную на соответствующей ветви (там, где стоят кружки). ([Прибыль $1 млн x вероятность 0,9] + [Прибыль $0 x вероятность 0,1] = $900 000.) Этот расчет дает вам ожидаемую денежную ценностьсобытия, хотя фактические исходы могут располагаться по всему спектру значений. В каждом кружке сумма вероятностей должна равняться 100% (0,9 + 0,1 = 1,0); это означает, что учтены все вероятные события. Ветви, исходящие из каждого узла, изображают взаимоисключающие альтернативы, суммарная вероятность которых равна 100%, то есть является исчерпывающей.

В узлах с ветвями возможных действий (квадраты)тот, кто принимает решение, может выбирать наилучший исход. Для определения наилучшей альтернативы вычтите затраты из выигрыша по каждой из имеющихся альтернатив. При расчете последствий решения следует двигаться из крайней правой точки налево. Вы как бы "складываете" дерево или "обрезаете ветви", чтобы получить решение по наилучшему для вас плану действий. В узлах-квадратах следует выбирать ветви с наивысшим выигрышем, в узлах-кружках — умножать возможные выигрыши на соответствующие вероятности.

Дерево решений рекомендует отбросить всякую осторожность и исключить сейсморазведку. Ожидаемая денежная ценность для варианта бурения с предшествующей сейсморазведкой равна $370 000 (420 – 50), а без сейсморазведки — $400 000. Вы выбираете максимум ожидаемой денежной ценности (ОДС). Этот сравнительно простой метод можно применять для принятия решений в ситуациях разработки нового продукта, хозяйственного освоения недвижимости и выбора уровней запасов на складе. В любой подобной ситуации дерево решений вынуждает того, кто берется решать, подробно рассмотреть все альтернативы, оценить уровень неопределенности (вам ведь приходится делать вероятностные предположения) и рассчитать денежные эквиваленты возможных исходов. Дерево решений заставляет точно формулировать допущения. Например, вы допускаете определенную вероятность получения нефти после отрицательного результата разведочного бурения. Другой человек, анализирующий ту же ситуацию, может прийти к иному выводу. Сравнивая деревья, аналитики могут упорядоченным образом обсуждать конкретные допущения.

Рисунок 5. Дерево решений применительно к ситуации бурения

"Нарисовать дерево решений и выбрать вариант В" — примерно так звучали ответы на экзамене по применению метода дерева решений. Это дерево помогает разглядеть сложность простой с виду проблемы. Даже точное изображение дерева решений оказалось серьезным испытанием во время четырехчасового экзамена: выполнить его грамотно мог только тот, кто много практиковался.

Рисунок 6. Дерево решений применительно к ситуации бурения (в тыс. долл.)

Анализ движения денежных средств

Термин "движение денежных средств" часто упоминается в сочетании с понятием "покупка с использованием заемных средств". Это — основа финансового анализа. Специалисты с Уолл-стрит могут быстро прикинуть качественный аспект инвестиционных решений, но, в конечном счете, для них имеют значение только последствия в денежном выражении. Анализ движения денежных средств основывается на той же информации, которую использует бухгалтер для подготовки отчета о движении денежных средств. Этот анализ отвечает на простой вопрос: Какова стоимость вложенного капитала и сколько денежных средств он сможет генерировать ежегодно?

Денежные средства, генерируемые компанией, можно использовать для погашения задолженности, выплаты дивидендов, инвестирования в исследования, покупки нового оборудования или освоения недвижимости. Цель анализа — установить, когда, в каком объеме и в каком направлении потекут денежные средства при развитии событий по конкретному сценарию.

Инвестор может иметь в виду несколько целей, однако анализ движения денежных средств имеет отношение только к деньгам. К примеру, рекламная деятельность компании может повысить репутацию фирмы, но если выгоды от этого невозможно представить в денежном выражении, то анализ движения денежных средств здесь неуместен.

Анализ движения денежных средств нужен при покупке как станка, так и компании. Поэтому давайте переформулируем наш первый вопрос:

Каковы нынешние инвестиции и каковы будущие выгоды? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо:

  1. Определить объем инвестиций.
  2. Рассчитать величину выгод.
  3. Составить календарь получения выгод.
  4. Уточнить вероятность получения выгод.
  5. Решить, оправдают ли выгоды ожидание.

Тут скрывается одна проблема: анализ движения денежных средств отражает потоки средств, но не прибылей. Например, перспективная компьютерная компания-стартап в Кремниевой долине "по бумагам" рассчитывает на прибыль в размере $3 млн, но если необходимо вложить $20 млн в исследования и $30 млн в строительство завода, то пока компания лишь тратит деньги. Ее прибыльность отнесена в будущее.

Расчетная прибыль, указываемая в отчете о прибылях и убытках, позволяет замерить инвестиции на отрезке времени, меньшем, чем окупаемость инвестиций, в то время как анализ движения денежных средств дает оценку конкретного проекта на весь срок проекта.

Для оценки первоначального движения средств по проекту может понадобиться следующая информация:

  • Использование денежных средств:
  • затраты на строительство;
  • приобретение запасов;
  • покупка оборудования;
  • рост дебиторской задолженности (клиенты покупают в кредит, заимствуя у вас средства на покупку).
  • Источники денежных средств:
  • продажа лишнего оборудования;
  • рост кредиторской задолженности (вы приобретаете материалы в кредит, заимствуя у поставщиков денежные средства на покупку).
  • Определяем использование денежных средств внутри срока проекта:
  • Источники денежных средств:
  • доходы или продажи;
  • роялти.
  • Использование денежных средств:
  • затраты на реализованную продукцию;
  • затраты на сбыт;
  • общие и административные расходы;
  • налоги.

Амортизация, фигурирующая в отчете о прибылях и убытках, не имеет отношения к анализу движения наличных средств. Амортизация — это бухгалтерская условность: если срок службы какого-либо оборудования составляет пять лет, то ежегодно на протяжении пяти лет из дохода вычитается 1/5 стоимости этого оборудования. Напротив, с точки зрения анализа движения средств, деньги на приобретение машины потрачены сегодня, поэтому использование денежных средств указывается на дату приобретения машины. Затраты на амортизацию для этого отчета важны лишь тогда, когда они позволяют уменьшать "расчетную прибыль" и тем самым сократить затраты на уплату налогов. Так, магазин Bob's Market в главе, посвященной бухгалтерскому учету, распределяет затраты на приобретение кассовых аппаратов и тележек на десятилетний период, хотя все это оборудование было полностью оплачено к открытию магазина.

И еще одна особенность: в анализе движения денежных средств не учитываются затраты на финансирование. Инвестиционное решение отделено от финансового. В компании General Electric реализуются тысячи проектов, используется множество форм финансирования: займы (облигации, банковские ссуды) и выпуск акций. Соотнести задолженность с индивидуальными проектами было бы невозможно. На самом деле финансовый отдел занимает деньги для удовлетворения всех текущих потребностей компании, а бюджетный отдел принимает решение, какие проекты стоит поддержать. Если бы решения этих двух отделов были увязаны, то проекты, финансируемые из заемных средств, в отчетах выглядели бы гораздо лучше тех, которые оплачиваются наличными, хотя по существу они ничем не отличаются.

Пример анализа движения денежных средств

Компания Quaker Oats планирует приобрести за $100 000 дробильную машину для своего предприятия в Канзас-Сити. Всеобщее увлечение растительными волокнами резко повысило спрос на толокно, и завод уже не справляется. Купив машину, компания сможет производить каш еще на $80 000 в год. Затраты на реализованную продукцию составляют всего $20 000, прибыль облагается тридцатипроцентным налогом. Увеличение объема продаж предполагает также увеличение складских запасов на сумму $10 000. Эти затраты компания отчасти покроет, увеличив на $8000 кредиторскую задолженность фермерам за овес и компании Stone Container за упаковки, так что всего придется потратить $2000.

Машина проработает с полной нагрузкой три года, а потом она еще сможет послужить мукомольной компании в Мексике. Quaker Oats перепродаст оборудование мексиканской Molino Grande за $10 000.

Рисунок 7.

В данном примере для оценки проекта критически важно распределение потоков денежных средств во времени. Обычно это распределение представляют с помощью столбиковой диаграммы. Результат движения денежных средств за каждый период изображается либо под линией (вложение денежных средств), либо над линией (доходы). В примере с компанией Quaker Oats столбиковая диаграмма имеет следующий вид:

Рисунок 8.

При тех же денежных потоках, но другом расписании диаграмма изменяется:

Рисунок 9.

А если получение доходов откладывается, то диаграмма выглядит так:

Рисунок 10.

Эти схемы показывают "стоимость" времени.

Накопленная стоимость

Как только проект производства толокна начнет приносить деньги, Quaker едва ли оставит их праздно лежать — деньги используются для реинвестиций. Значит, если компания получит, как предусмотрено сценарием А, по $51 000 в первые два года и $61 000 в третий, это позволит ей начать зарабатывать на реинвестициях на два года раньше, чем по сценарию В.

Если реинвестиции сулят 10% годовых, сценарий А принесет на $34 230 больше, чем сценарий В. Накопленная стоимостьденежных потоков по истечении трех лет составит $163 000 плюс дополнительный доход $34 230, что в совокупности даст $197 230. Сценарий А, несомненно, выгоднее.

Для упрощения расчетов используется формула накопленной или будущей стоимости доллара:

Будущая стоимость доллара после x периодов = (Текущая стоимость доллара) x (1 + Ставка реинвестирования)Число периодов

При ставке 10% коэффициент для года 1 = 1 x (1 + 0,1)1 = 1,10.

Нет нужды запоминать коэффициенты или каждый раз их рассчитывать — можно использовать таблицы из Приложения или бизнес-калькулятор.

Согласно таблицам из Приложения, коэффициенты накопленной стоимостив зависимости от ставки процента и числа периодов для ставки в 10% составляют:

Рисунок 11.

Применяя эти коэффициенты в сценарии А к сумме $163 000, полученной в конце первого года и инвестированной на двухлетний период до конца третьего года, получаем следующую накопленную стоимость:

$163 000 на конец года 1 x 1,210 = $197 230 через 2 года или
$197 230 – $163 000 = $34 230 в форме дохода от реинвестиций.

Рисунок 12. Вычисление накопленной стоимости

При оценке проекта или инвестиций, ориентированных на будущее, важна не только величина денежных потоков, но и распределение потоков во времени и возможность использовать их для реинвестиций.

Чистая приведенная стоимость (NPV)

Анализ приведенной стоимости (NPV) помогает посчитать, сколько работнику нужно вложить, чтобы через 30 лет получать достойную пенсию, но этот анализ бесполезен при оценке текущих инвестиций и проектов. Инвестиции необходимо оценивать в сегодняшних параметрах. Во что сегодня обойдется проект Quaker Oats? Не лучше ли купить подобное оборудование за $150 000, но с четырехлетним сроком службы?

Анализ движения средств выявляет денежные потоки, а анализ накопленной стоимости оценивает эти потоки в сегодняшних долларах. Таким способом можно сравнивать разные проекты независимо от распределения денежных потоков во времени. Например, если компании Apple Computer известно, что новый компьютер Tangerine станет "хитом продаж" и принесет $5 млрд, но на его разработку потребуется 10 лет, компания, возможно, отвергнет этот проект.

Во-первых, за 10 лет инфляция отчасти обесценит эти $5 млрд, а главное, лучше вложить средства в робототехнику и сразу же снизить затраты на производство. Даже если анализ NPV оправдывает проект Tangerine, могут найтись более существенные стратегические соображения. Тут-то MBA и должен продемонстрировать способность принимать управленческие решения.

Специалисты по ценным бумагам приравнивают акции и облигации к покупке оборудования. Акции обеспечивают выплату дивидендов, а облигации — получение процентов в будущем. Стоимость ценных бумаг определяется как текущая стоимость будущего притока денежных средств. Как Quaker Oats, анализируя текущую стоимость, определяет выгоды от покупки нового производственного оборудования, так корпорации оценивают новые заводы или интенсивную рекламу. Юрист, берущийся представлять родственников жертвы, может с помощью анализа текущей стоимости прикинуть вероятные будущие доходы погибшего и подсчитать сумму компенсации. Главное, что необходимо запомнить: доллар сегодня стоит больше, чем доллар в будущем.

Проект Quaker Oats принес за три года $163 000 (51 + 51 + 61). Как мы подсчитали, эти $163 000 дадут дополнительные $34 230, если их реинвестировать под 10% годовых в другие проекты компании или вложить под проценты. Вы бы стали вкладывать $163 000 в надежде получить через три года те же самые $163 000? Разумеется, нет, ведь вы бы потеряли выраженную в деньгах стоимость денег, в данном случае — $34 000.

Исходя из этой простой логики, анализ NPV сводит будущие потоки денежных средств к их сегодняшней стоимости, то есть производит операцию, обратную вычислению накопленной стоимости. Расчетная формула выглядит так:

NPV = (Будущая стоимость доллара) x (1 + Ставка дисконта)Число периодов

$1, полученный через год, при ставке дисконта 10% будет стоить:

$1 x (1 + 0,1)–1 = 0,90909

С помощью этой формулы составлены таблицы коэффициентов дисконтирования для разных ставок и периодов. С учетом возможности реинвестирования под 10% годовых и рисков проекта стоимость $1 в будущем в соответствии с формулой и таблицами составит:

Потоки денежных средств по проекту Quaker Oats оцениваются следующим образом:

Оценка любого проекта зависит от величины потоков денежных средств, распределения их во времени и ставки дисконта — в нашем случае это 10%. Ставка дисконта — весьма субъективный критерий. Чем выше ставка дисконта или пороговая рентабельность, тем ниже стоит сегодня "будущий доллар". Пороговой эта норма называется потому, что чем выше ставка дисконта, тем больший приток денежных средств в будущем должен обеспечивать проект, чтобы иметь такую же ценность сегодня. То есть проекту необходимо преодолеть более высокий порог, чтобы свести концы с концами. Для рискованных инвестиций, вроде нашего примера с нефтяными скважинами, уместна более высокая ставка дисконта. Для надежного инвестирования, как при вложении средств в трудосберегающее устройство или гособлигации, приемлема невысокая ставка дисконта. Если в руководстве компании не найдется эксперта со степенью MBА, компания, не беря в учет относительную рискованность проектов, будет устанавливать для всех единую пороговую рентабельность. В итоге компания откажется от надежного вложения и ухватится за рискованный проект. Ни при каких обстоятельствах пороговая норма прибыли не должна равняться проценту на банковский кредит компании, разве что эти цифры случайно совпадут.

Ставка дисконта должна определяться рискованностью проекта. Стабильная компания может заимствовать денежные средства под очень низкий процент и инвестировать эти деньги в рискованные проекты.

Внутренняя рентабельность

Внутренняя норма рентабельности (IRR) — это производная NPV. IRR инвестиции — ставка, при которой сумма дисконтированных будущих притоков денежных средств равна стоимости инвестиционного капитала сегодня.

Для определения IRR необходимо последовательно проверять разные ставки дисконта, пока NPV не выйдет в ноль. По проекту Quaker Oats IRR составляет 26,709%. Проверим это число расчетами:

Для оценки проектов внутренняя норма прибыли важна, однако при этом не учитываются масштабы вложений. Небольшая инвестиция с непропорционально высокой прибылью ранжируется по такой системе выше, чем крупные инвестиции с адекватной прибылью. Выделив миллиард долларов на исследования, General Electric должна затем вложить большие суммы в крупные проекты со сравнительно низкой нормой прибыли.

При ранжировании по внутренней норме прибыли остаются без внимания IRR и коэффициенты дисконтирования, используемые при анализе NPV. Как я уже говорил, пороговые нормы прибыли корректируются с учетом уровня риска. При прочих равных вложения компании Quaker Oats в оборудование могут иметь относительно менее высокую IRR, чем весьма рискованные инвестиции шведской компании Merck в поиски лекарства от рака, однако NPV у Quaker Oats может оказаться выше. Небольшие потоки денежных средств, связанные с приобретением оборудования, дисконтируются по ставке 10% в связи с низким риском. В результате NPV окажется выше. Вложения в исследования рака следует оценивать по высокой ставке дисконта — 50%. Запомните: чем выше ставка дисконта, тем ниже стоимость наличных средств сегодня и тем выше уровень предполагаемого риска.

Теория вероятности

Теория вероятности — красивое название статистики, предмета, которого побаиваются даже наиболее талантливые слушатели бизнес-школ. По существу, теория вероятности — более точный термин, поскольку он объясняет, как статистика используется для решения задач. При определенной вероятности обнаружения нефти как следует поступить Сэму? Сколько из 800 состоящих в браке слушателей лучших рейтинговых школ на первом году программы MBA позабудут о своих супругах? Все это теория вероятности. Почти все деловые люди избегают статистики, тут-то МВА и предоставляется возможность блеснуть. Я прослушал курс статистики еще в студенчестве и практически ничему не научился, так как нам преподавали теорию, а не решение проблем. Программы для МВА сосредоточены на практическом применении статистики, а теорию оставляют математикам. Если вы незнакомы со статистикой, ни в коем случае не пропускайте этот раздел. Нескольких страниц не хватит, чтобы сделать вас знатоком статистики, но если вы наберетесь терпения и прочтете эту главу, то будете разбираться в этом сложном вопросе достаточно, чтобы вовремя попросить о помощи. В том-то и суть подготовки MBA — дать слушателям практические знания по различным предметам. Преподаватели не надеются за два года превратить учеников в экспертов, но требуют, чтобы выпускники понимали, когда им требуется помощь эксперта для решения конкретной проблемы.

Распределение вероятностей

В ситуациях с множественными возможными исходами подсчитывается их распределение. Каждому исходу приписывается определенная вероятность. С помощью тщательного анализа и интуиции вычисляются все возможные исходы того или иного события. Сумма вероятностей всех исходов равна 100%, как и на любом разветвлении дерева решений. График распределения исходов называется вероятностной мерой или плотностью вероятности. Когда вероятных исходов много, кривая получается плавной и в этом случае называется функцией плотности вероятности. Если возможных исходов всего несколько, кривая неровная, и в этом случае она называется вероятностной мерой.

Пример с дождями. Дождь в Сиэтле — событие, характеризуемое определенным распределением вероятностей. В соответствии с гипотетическими данными выпадение дождей в Сиэтле можно представить в форме таблицы и графиков распределения вероятностей (табл. 1).

Таблица 1.

Рисунок 13. Вероятностная мера осадков. Дневные осадки в Сиэтле за март 2010 г. (31 день)

Биномиальное распределение

Подбрасывание монеты имеет два вероятных исхода — монета падает орлом или решкой кверху. Поэтому распределение исходов двух подбрасываний монеты дает несколько разных результатов с точки зрения того, кто поставил на орла.

Двойная удача — орел/орел.
Одна удача / одна неудача — орел/решка.
Двойная неудача — решка/решка.

Подбрасывание монеты описывается самым простым видом распределения вероятностей — биномиальным. При биномиальном распределении существует всего два одинаково вероятных исхода — удача и неудача.

"Тайную теорию" биномиального распределения можно применить к такому практическому делу, как анализ рынка акций. Удачей на рынке можно считать прибыль по итогам месяца, а неудачей — убыток или нулевую прибыль. В исследовании динамики цен на акции компании AT&T за период с 1957 по 1977 г. был проанализирован каждый месяц и установлена пропорция удачных месяцев: в 56,7% случаев за двадцатилетний период успех был обеспечен.

Исследованные месяцы были объединены в группы по три (кварталы). Исследователи выявили частоту событий с благоприятным исходом (рис. 14)

Рисунок 14.

Математик, подбрасывавший монету, составил таблицы для решения всех задач по биномиальному распределению. В случае с компанией AT&T для пользования такой таблицей необходимо иметь следующую информацию:

r= число благоприятных исходов = от 0 до 3;
n= число попыток = 3 (3 месяца в квартале);
р= вероятность благоприятного исхода = 56,7%.

На основании этой информации таблица биномиального распределения предсказывает ожидаемые исходы (рис. 15):

Рисунок 15.

Как ни странно, биномиальное распределение довольно хорошо коррелирует с фактическими результатами по AT&T. При даннойвероятности благоприятного исхода(p) вероятность получения прибыли по итогам месяца за конкретный квартал можно узнать из таблицы. Поэтому инвестиционные менеджеры, директора по продажам и аналитики могут делать из биномиального распределения практические выводы.

Нормальное распределение: тайна колоколообразной кривой

Нормальное распределение встречается чаще всего, а его графическое представление обычно называют колоколообразной кривой. В Гарварде при выставлении оценок используют колоколообразную кривую. Кривая показывает, что 15% слушателей получают низкую оценку (проходной балл). В Дарденской бизнес-школе преподаватели ставят неудовлетворительную оценку, основываясь на собственном суждении. Результат: в двух кампусах сложилась принципиально разная конкурентная среда.

Когда вероятностная мера выводится на основании множества проб, точки кривой сближаются, и она принимает колоколообразные очертания. Такую кривую мы называем функцией плотности вероятности. Именно так выглядели графики осадков в Сиэтле. Горб посреди кривой объясняется центральной предельной теоремой. Она гласит, что "распределение средних арифметических для повторяющихся независимых выборок принимает форму колоколообразного нормального распределения". Почему? Просто потому, что при большом числе независимых выборок итог стремится к центральному среднему арифметическому.

Концепция "средних по выборкам" довольно расплывчата. На практике речь идет о достаточно больших группах данных. Почему? Потому что нормальное распределение легко использовать, и оно всегда оказывается близко к реальности. Курс акций — это отражение многочисленных конъюнктурных колебаний на рынке, результатом которых будет благоприятный или неблагоприятный исход. Этот результат можно рассматривать в качестве "среднего арифметического" конъюнктурных колебаний. Едва ли не все происходящее можно рационализировать через среднее арифметическое, и этим объясняется полезность нормальных распределений.

Рисунок 16. Колоколообразная кривая оценок

Параметры нормальной кривой. Колоколообразная кривая характеризуется двумя параметрами: средними стандартным (среднеквадратичным) отклонением (СКО). Среднее (μ) является центром кривой. Обычно его называют средним арифметическим. Оно вычисляется делением суммы значений на их количество. Среднеквадратичное отклонение (σ) определяет ширину кривой. СКО можно также описать как критерий "отклонения от среднего". Две эти характеристики играют ключевую роль в большей части концепций теории вероятности.

Другие критерии средней величины для совокупности данных — медиана, величина, стоящая в середине упорядоченного по возрастанию списка данных, и мода — величина, чаще всего встречающаяся в выборке.

Как и в случае биномиального распределения, сумма всех исходов, представленная площадью под кривой, равна 100%. Особенность нормальной кривой заключается в том, что для любого среднеквадратичного отклонения от среднего или центра вероятность события одинакова, независимо от формы кривой.

Пример нормального распределения из розничной торговли. Эл Банди, владелец обувного магазина, хочет быть уверен, что на складе имеются запасы обуви любого размера. Он купил в Академии ног данные по частоте женских ног и получил результаты проведенного Академией опроса. На миллиметровке Банди расположил эти данные и получил нормальное распределение. Он также ввел данные в свой калькулятор и нажал кнопку "стандартное отклонение". Ответ был "2". Эл также проверил среднее арифметическое для всей совокупности ответов по размерам и получил ответ "7". Посмотрев на кривую, он увидел внушающее доверие нормальное распределение (рис. 17).

Рисунок 17. Плотность вероятности замеров осадков. Ежедневный уровень осадков в Сиэтле, 1970–2010 гг. (14 600 дней)

Как только Эл распознал кривую, он смог применить законы нормального распределения. Площадь участков под нормальной кривой всегда описывается формулой:

1 СКО = 0,3413
2 СКО = 0,4772
3 СКО = 0,49865
4 СКО = 0,4999683

Рисунок 18. Функция плотности вероятности — кривые для разных значений среднеквадратичного отклонения

Если мистер Банди, учтя эти данные, запасет размеры с 5-го по 9-й, он сможет удовлетворить потребности 68,26% (0,3413 x 2) покупательниц. Расширив ассортимент склада с 3-го по 11-й размеры, он сможет обуть 95,44% женщин. Если же Эл будет иметь на складе размеры с 1-го по 13-й, 99,73% клиентов уйдут от него с покупкой. Для тех, у кого размер меньше 1-го или больше 13-го, он может сделать специальный заказ.

Естественно, таблицы нормальных распределений составлены для определения вероятности любой конкретной точки на кривой (с учетом нецелочисленных СКО). Для пользования таблицами необходимо рассчитать значение Z.

Рисунок 19. Нормальное распределение для размеров обуви

Пример использования нормальной кривой в финансовой деятельности

Давайте применим новые правила теории вероятности к финансовой деятельности. Ежемесячная прибыль на колеблющиеся акции компании Pioneer Aviation представлена в виде кривой нормального распределения. Сводные данные по прибыли в ретроспективе показывают, что среднее равно 1%, а СКО (разброс) — 11%. Джеральд Расмуссен хочет узнать, какова вероятность получить в следующем месяце прибыль менее 13%.

Используя формулу расчета Z, мы можем составить формулу:

Таблица нормального распределения, которую я привожу в Приложении, говорит нам, что 1,09 СКО равно 0,3621. Площадь участка под всей левой половиной кривой равна 0,5000, так как она представляет половину распределения. Это верно в любой ситуации. Вероятность попадания в точку, находящуюся выше или ниже центра или среднего нормального распределения, равна 50%. Исходя из приведенных данных, определяем вероятность того, что прибыль на акции окажется ниже 13%: 0,3621 + 0,5000 = 0,8621, и, с другой стороны, — что она окажется выше 13%: 1 – 0,8621 = 0,1379. Это реальный ответ на реальную деловую задачу с использованием инструмента статистики.

Рисунок 20. Плотность вероятности. Ежемесячный доход по акциям Pioneer Aviation

Рисунок 21. Плотность вероятности. Ежемесячный доход по акциям Pioneer Aviation

Статистика не трудна, если не напирать чересчур на теорию. Существуют и другие распределения, но их редко используют в бизнесе. Распределение Пуассона сходно с нормальным распределением, но имеет удлиненный хвост в правой части графика. Однако в большинстве случаев распределение считается нормальным, так как это позволяет использовать правила стандартного отклонения.

Кумулятивные функции распределения

Кумулятивная функция распределения дает интегральную картину распределения вероятности. Она рассматривает функцию вероятностной меры типа колоколообразной кривой и задает вопрос: "Какова вероятность того, что результат окажется меньше или равен такому-то?" Нормальная кривая показывает вероятность конкретного значения, a кумулятивная функция — вероятность данного спектра значений. Кумулятивная функция позволяет объединить понятие о неопределенности (теорию вероятности) с нашим инструментом для принятия решений (дерево решений). Она охватывает весь спектр возможных исходов при анализе переменных с множественными значениями.

Вернемся к примеру с нефтяной скважиной и посмотрим распределение значений возможной стоимости нефти (табл. 2):

Таблица 2.

При построении дерева решений мы исходили из возможного выигрыша в миллион. Такова была ожидаемая стоимость нефти — я выбрал эту сумму ради удобства. При распределении мы получаем широкий спектр значений. Как видно из таблицы, с вероятностью 0,005 прибыль может оказаться равной $6 млн и $50 000. Если все эти суммы умножить на соответствующие вероятности, указанные во втором столбце, а затем сложить произведения, получится тот самый $1 млн, ожидаемая стоимость.

Построив функцию кумулятивного распределения, человек, принимающий решение, устанавливает среднее, то есть ожидаемую стоимость, и с этого может начать анализ. Построение кумулятивного распределения позволяет объединить оценки вероятности верхней границы, середины и нижней грани

Метки: